На главную
Теория
Задачи
Учёные
Интересные статьи
Шкала скоростей
Карта сайта
Средняя скорость
Средняя скорость – не
самое сложное понятие в кинематике. Однако для многих учащихся простота этого
понятия оказывается обманчивой.
Известно, что средняя скорость – это величина, равная отношению
пути, пройденного телом, ко времени, за которое пройден этот путь: Краткость
и простота определения скрывают от некоторых учеников важные для решения задач
вопросы и ответы на них.
1. Какое время следует учитывать при расчете средней
скорости, если тело в пути делало остановки?
В определении указано: “...ко времени, за которое пройден
этот путь”, то есть ко всему промежутку времени с момента, когда тело
тронулось в этот путь (представьте, что Вы включили секундомер), до момента,
когда тело преодолело этот путь (только в этот момент Вы останавливаете
секундомер!). О том, что время на остановки не следует учитывать, в определении
ничего не сказано (поэтому секундомер на промежуточных остановках не
выключайте!). Таким образом, при расчете средней скорости следует учитывать всё
время, которое ушло на преодоление пути (в том числе и время, потраченное на
остановки).
2. Как правильно
рассчитать среднюю скорость тела, которое начало движение в пункте А, окончило
его в пункте В, но по дороге из А в В поворачивало назад (может быть ни
один раз!), а затем вновь продолжало движение к пункту В?
В определении указано “...равная отношению пути, пройденного
телом...”, значит, при расчете средней скорости определяющим является не
расстояние между точками (пунктами) начала и окончания движения, а реальный
путь, которое прошло тело.
Пример 1. Найти среднюю скорость человека на пути от дома до
станции, расстояние между которыми l =800 м, если, пройдя четверть пути,
он вернулся домой (например, проверить, хорошо ли закрыта дверь) и через мин
продолжил путь на станцию. Скорость движения человека постоянна и равна v
=4 км/ч.
Решение. Началом движения человека, конечно, следует считать момент времени,
когда он первый раз вышел из дома. Четверть пути составляет расстояние l1/4
=l : 4 =800 : 4 =200 м. При возвращении домой человек прошел путь 2l1/4
=400 м. После этого он вышел из дома второй раз и дошел до станции.
Путь, пройденный человеком с начала движения, составит:
S = 2l1/4
+ l =400 + 800 =1200 м =1,2 км.
Время t, которое затрачено на
преодоление этого пути, складывается из времени пребывания дома и времени
Т, в течение которого человек двигался по маршруту “из дома–к дому–на
станцию”. Поскольку скорость движения человека постоянна (v =4 км/ч) и
проделанный путь известен, то время движения составляет:
1,2 км : 4
км/ч =0,3 ч =18 мин.
Тогда все время, затраченное человеком, составляет:
t =+ T = 2 + 18 =20 мин =1/3 ч.
Найдем среднюю скорость:
1,2 км : ч =3,6
км/ч.
Ответ: vср =3,6 км/ч.
Среднюю скорость движения человек оценивает
довольно часто, но судит о ней, глядя на часы. Торопящийся человек соотносит
расстояние, которое ещё осталось преодолеть, и время, отпущенное ему на это,
после чего делает вывод (хотя числовое значение средней скорости вряд ли при
этом находится): “Ну, теперь можно идти помедленнее” или “Придется еще
поднажать, иначе не успею”.
Вернемся к рассмотренному примеру. Будем
считать, что скорость v0 =4 км/ч выбрана человеком не
случайно. проходя от дома до станции ежедневно, человек замечает, что
расстояние l ==800 м, он проходит за время t0 =12 мин
=0,2 ч:
= 0,8 км :
0,2 ч =4 км/ч.
По существу, это – средняя скорость,
поскольку доподлинно неизвестно, с какой скоростью человек идет в каждый момент
времени. Двигаясь с такой скоростью и затрачивая время t0,
человек ежедневно успевает на станцию вовремя. Если приходится возвращаться
домой (увеличивать путь, который надо преодолеть и на это требуется
дополнительное время) или останавливаться (увеличивая время, необходимое на
преодоление пути), выбранная скорость движения v0 не
подходит: можно опоздать на станцию. Значит, надо увеличивать скорость
движения. Но как это сделать без напрасных затрат сил?
Пример 2. Человек обычно доходит из дома до станции за время t0
=12 мин, проходя расстояние l =800 м. Однажды, пройдя четверть пути, он
вспоминает, что не выключил электроприборы, и возвращается домой, выключает
электроприборы, затрачивая время= 2 мин, и
снова идет на станцию. С какой наименьшей скоростью надо двигаться человеку,
после того как он повернул домой, чтобы успеть на станцию в обычное время (и не
опоздать на электричку).
Решение.
1. Обычно человек двигается со скоростью
м/мин =4
км/ч.
2. Пройдя с такой скоростью четверть пути, он
затратил время : 4 км/ч
=0,05 ч =3 мин. Значит, в его распоряжении осталось время Т2
=t0 – T1 =12 – 3 =9 мин.
3. За время Т2 человек должен
преодолеть путь до дома, а затем снова до станции:
м =1 км и, кроме того, часть времени (= 2 мин)
потратить дома. Поэтому путь S человеку придется преодолевать за время
ч,
то есть со скоростью, не меньшей, чем
1 км : ч =км/ч =км/ч » 8,6 км/ч.
Проверьте, что добежав до дома со скоростью км/ч, а
затем шагая со скоростью v2 =2v0 =8 км/ч,
человек придет на станцию вовремя.
Ответ: человеку необходимо двигаться со скоростью, не меньшей, чем км/ч.
Обратите внимание, что средняя скорость за время (t =12 минут) от начала
движения до его окончания составляет
м/мин =100 м/мин =6 км/ч.
Найденное значение vср в
полтора раза выше, чем v0, и показывает, с какой начальной
скоростью следует выходить человеку из дома, если он забывчив.
На рис.1 показан график зависимости скорости человека от
времени для примера 2 в случае, если человек бежит домой со скоростью v1
=3v0 ==12 км/ч, а затем идет до станции очень быстрым
шагом со скоростью v2 =2v0 =8 км/ч.
Штрихпунктирной линией указан график движения со скоростью v0,
а тонкой линией – со скоростью vср =6 км/ч.
Подсчитаем среднее арифметическое для
значений скорости v0, v1, v2:
км/ч.
Это значение не равно значению средней
скорости vср. Убедитесь в этом и не совершайте в дальнейшем
распространенную ошибку: не пытайтесь искать среднюю скорость как среднее
арифметическое значение (оно не имеет физического смысла!).
Пример 3. Автомобиль проезжает первую треть пути равномерно со
скоростью v1 =108 км/ч, а остальные две трети пути – со
скоростью v2 =72 км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля.
Решение. Неверно считать, что средняя скорость совпадает со средним
арифметическим значением v1 и v2, которое
составляет
км/ч.
1. Найдем время t1 движения
со скоростью v1, полагая, что весь путь равен L [км].
Из условия ясно, что
2. Время t2 движения на
оставшемся участке пути составляет
3. Итак, время на продолжение пути L
составляет
4. По определению средней скорости
км/ч.
Ответ: средняя скорость vср =81 км/ч.
Значение средней скорости совпадает со
средним арифметическим значением скорости только в одном частном случае,
когда тело двигается с различными скоростями так, что между последовательными
моментами изменения (переключения) скорости проходит одинаковое время Т.
Таким образом, тело двигается со скоростью v1 в течение
времени t1=T, со скоростью v2 в
течение времени t2=T, со скоростью v3
в течение времени t3=T и т.д. Если на протяжении пути
скорость изменялась n раз, то пройденный путь
S =v1t1 + v2t2
+ v3t3 + ... +vntn
=T(v1 + v2 + v3 + ...
+vn).
Время t, за которое пройден путь,
составляет
t =t1 + t2
+ t3 + ... + tn =T*n.
По определению:
.
Не запрещено для этого частного случая
двигаться со скоростью v0=0, т.е. делать остановки. Но время
остановки должно составлять t0 =T.
Пример 4. Вертолет пролетает без остановок равномерно и
прямолинейно над пунктами А, В, С (в указанном порядке) и
возвращается в А. Пункты А, В, С являются как бы вершинами треугольника. Расстояние
между А и В составляет LAB =150 км, между В
и С LBC =200 км, между С и А LCA
=100 км. Время, за которое вертолет пролетает от одного пункта до другого,
составляет полчаса. Найти среднюю скорость движения вертолета на маршруте АВСА.
Изменится ли средняя скорость, если LCA =200 км и всё
расстояние вертолет преодолеет за 1 ч?
Решение. 1. Находим скорость движения вертолета на каждом участке:
км/ч;
км/ч;
км/ч.
2. Поскольку t =0,5 ч одинаково для
всех участков движения, то
км/ч.
3. Если расстояние LСА =200
км и tCA =1ч, то не меняется vCA=200
км/ч. Но в этом случае нельзя подсчитывать (для простоты) среднюю скорость как
среднее арифметическое, так как tCА ? tAB ==tBC.
км/ч.
Ответ: 1) vcp1 =300 км/ч; 2) vcp2 =275
км/ч.
Контрольные задания на эту
тему