На главную Теория Задачи Учёные Интересные статьи Шкала скоростей Карта сайта

Кинематика теории относительности. Энергия и импульс

Преобразования Лоренца

Формула, описывающая распространение фронта сферической световой волны, может быть переписана в виде:

c₂t₂ - x₂ - y₂ - z₂ = 0.

Введем обозначение:

s₂ = c₂t₂ - x₂ - y₂ - z₂.

Величина s₂ называется интервалом. Тогда уравнение распространения световой волны (уравнение светового конуса на пространственно временной диаграмме) примет вид:

s₂ = 0.

Из геометрических соображений очевидно, что в областях абсолютного прошлого и абсолютного будущего (иначе их называют времениподобными областями) s₂ > 0, а в пространственно подобной области s2 < 0. Поскольку скорость света не зависит от выбора ИСО, то разделение всех событий по отношению к данному на те, которые лежат во времениподобной или пространственноподобной областях, не зависит от системы отсчета. Другими словами, интервал s инвариантен относительно перехода из одной ИСО в другую. Согласно принципу относительности, уравнение s₂ = 0, выражающее физический закон распространения света, обязано иметь один и тот же вид во всех ИСО.

Легко убедиться простой подстановкой, что величина s₂ не сохраняет своего вида при преобразованиях Галилея. Отсюда мы приходим к выводу о необходимости существования иных преобразований координат и времени при переходе от одной ИСО к другой. При этом, учитывая относительный характер одновременности, уже нельзя считать t' = t, т.е. считать время абсолютным, идущим независимо от наблюдателя, и вообще отделить время от пространства, как это можно было сделать в ньютоновской механике.

Преобразования координат и времени события, не меняющие величины интервала s₂, носят название преобразований Лоренца. Их вывод выходит за рамки школьной программы. Поэтому ограничимся проверкой того, что выписанные ниже преобразования действительно сохраняют величину интервала.

Преобразования Лоренца имеют вид:

Здесь v - скорость движения одной ИСО относительно другой, величина

носит название лоренц-фактора и, как легко видеть, может меняться от 1 до & при изменении скорости v от 0 до c.

Преобразования Лоренца удобно переписать, введя вместо времени t другую величину: x₀ = ct, имеющую размерность длины, и обозначив x = x₁, y = x₂, z = x₃. Тогда, умножая четвертое равенство на c справа и слева и вводя обозначения

b = v/c, g = (1 - b₂)-1/2,

получим:

Здесь рядом выписаны преобразования Лоренца от нештрихованной системы координат К (условно ее принято считать неподвижной, как говорят, лабораторной системой) к штрихованной системе координат К' (движущаяся система) и обратные преобразования. Эти формулы отличаются знаком скорости v, что соответствует принципу относительности: если К' движется относительно К со скоростью v вдоль оси x, то К движется относительно К' со скоростью -v, а в остальном обе системы полностью равноправны.

Теперь нетрудно проверить инвариантность интервала, который в новых обозначениях принимает вид:

Имеем:

что и требовалось доказать.

Часы и линейки

Наиболее парадоксальными непосредственными следствиями преобразований Лоренца являются утверждения, что наблюдатели в двух разных ИСО будут получать разные результаты при измерении длины какого-то стержня или интервала времени между двумя событиями, произошедшими в одном месте.

1. Сокращение размеров

Пусть стержень расположен вдоль оси x' системы отсчета К' и покоится в этой системе. Его длина l' = x'₂ - x'₁ фиксируется наблюдателем в этой системе. Переходя в неподвижную систему К, можем записать выражения для координат конца и начала стержня, измеренных в один и тот же момент времени по часам неподвижного наблюдателя:

x'₁ = g(x₁ - b_x0), x'₂ = g(x₂ - b_x0).

Отсюда:

l' = x'₂ - x'₁ = g(x₂ - x₁) = g_l.

Эту формулу обычно записывают в виде:

l = l'/g.

Так как g > 1, то это означает, что длина стержня l в "неподвижной" системе отсчета оказывается меньше длины этого же стержня l' в движущейся системе (лоренцовское сокращение длины).

2. Замедление темпа хода времени

Пусть два события происходят в одном и том же месте в системе К' и интервал времени между этими событиями по часам наблюдателя, покоящегося в этой системе, равен

t = t'₂ - t'₁.

Принято называть время t, измеренное по часам покоящегося наблюдателя, собственным временем. Мы хотим найти связь между собственным временем и временем, измеренным по часам движущегося наблюдателя. Так как

где x' - неизменная пространственная координата события, то, вычитая одно равенство из другого, находим:

t = gt.

Из этой формулы следует, что часы в системе К показывают больший интервал времени между двумя событиями, чем часы в системе К', движущейся относительно К. Иными словами, интервал собственного времени, который показывают часы, движущиеся вместе с наблюдателем, всегда меньше интервала времени, который показывают часы неподвижного наблюдателя.

Эффект замедления времени можно непосредственно проверить в экспериментах с элементарными частицами. Представьте нестабильную частицу, которая распадается через определенный интервал времени t. Ясно, что это время измеряется по покоящимся относительно частицы часам, т.е. это собственное время жизни частицы. Но частица пролетает мимо наблюдателя с большой скоростью, иногда близкой к скорости света. Поэтому время ее жизни по часам в лаборатории становится равным t = gt, и при g >> 1 время жизни t >> t. Впервые с этим эффектом исследователи столкнулись при изучении мюонов, рождавшихся в верхних слоях атмосферы Земли в результате взаимодействия частиц космического излучения с ядрами атомов в атмосфере. Были установлены следующие факты:

Мюоны рождаются на высоте порядка 100 км над поверхностью Земли. Собственное время жизни мюона t=2·10^-6 с. Поток мюонов, рожденных в верхних слоях атмосферы, доходит до поверхности Земли.

Но это кажется невозможным. Ведь даже если бы мюоны двигались со скоростью, равной скорости света, они все равно могли бы за время своей жизни пролететь расстояние, равное всего

ct=3·108·2·10-6 м = 600 м.

Таким образом, тот факт, что мюоны, не распавшись, пролетают 100 км, т.е. расстояние, в 200 раз большее, может быть объяснен только одним: с точки зрения земного наблюдателя, время жизни мюона возросло. Расчеты полностью подтверждают релятивистскую формулу.

Следует подчеркнуть, что не в выводах о сокращении длины и замедлении времени главная суть ЧТО. Самым существенным в частной теории относительности является не относительность понятий пространственных координат и времени, а неизменность (инвариантность) некоторых комбинаций этих величин (например, интервала) в едином пространстве-времени. Поэтому в определенном смысле ЧТО следовало бы именовать не теорией относительности, а теорией абсолютности (инвариантности) законов природы и физических величин по отношению к преобразованиям перехода из одной ИСО в другую.

Сложение скоростей

Запишем преобразования Лоренца для изменения координат тела x, y, z за промежуток времени t. Имеем:

Здесь V - направленная вдоль оси x скорость движения одной системы относительно другой.

Скорость тела в лабораторной системе v = r/t, а скорость этого же тела в системе, движущейся вдоль оси x со скоростью V относительно лабораторной системы, равна
v' = r'/t'. Поэтому

Эти формулы легко записываются в векторной форме (с учетом того, что у вектора V только одна компонента вдоль оси x, так что скалярное произведение Vv' = Vv'x):

В предельном случае, когда все скорости много меньше скорости света, V << c и v' << c (нерелятивистский случай), можно пренебречь в знаменателе вторым слагаемым. Тогда приходим к закону сложения скоростей классической механики (см. Кинематика равномерного поступательного движения):

v = v' + V.

В противоположном, релятивистском случае (скорости близки к скорости света) легко убедиться, что, вопреки наивному представлению, при сложении скоростей невозможно получить скорость, превышающую скорость света в вакууме. Пусть, например, все скорости направлены вдоль оси x и v' = c, тогда видно, что и v = c